大細篇 計到「入球總數」嘅分佈；xG 篇 講咗 λ 點樣估。今次落到最細粒度：每個具體比分嘅機率——波膽。
由 λ 到波膽矩陣
沿用同一場例：主隊 λ = 1.45，客隊 λ = 1.10。假設兩隊入球獨立，每個比分 (i, j) 嘅機率就係兩個 Poisson 相乘：
P(主 i 球, 客 j 球) = Pois(i; 1.45) × Pois(j; 1.10)
砌出 0–6 球嘅 7×7 矩陣（覆蓋 99.91% 機率質量，尾巴係 7+ 球嘅極端比分），最高嘅六格：
| 排名 | 比分 | 機率 |
|---|---|---|
| 1 | 1-1 | 12.45% |
| 2 | 1-0 | 11.32% |
| 3 | 2-1 | 9.03% |
| 4 | 0-1 | 8.59% |
| 5 | 2-0 | 8.21% |
| 6 | 0-0 | 7.81% |
最常見單一比分係 1-1——但留意佢都只得 12.45%。波膽嘅本質：機率極度分散，「買中一個比分」本身就係低命中事件，呢個亦係波膽賠率點解咁高嘅數學根源。
矩陣加總 = 1X2
同一個矩陣，按對角線分三份加總：
- 主勝（下對角）45.0%
- 和局（主對角）26.2%
- 客勝（上對角）28.7%
三個數嚟自同一塊矩陣，唔使分開估——呢個就係「由比分分佈出發」嘅好處：所有市場（主客和、大細、波膽、淨勝球）都係同一個聯合分佈嘅邊際化，口徑天然一致。大細篇嘅「λ=2.55 → 細 53.1%」都可以喺呢塊矩陣度驗算返：總入球 ≤ 2 嘅格仔加埋啱啱好 53.1%。
Skellam：淨勝球嘅封閉解
如果只想知淨勝球（主 − 客 = k）而唔想砌全矩陣，有現成分佈：兩個獨立 Poisson 之差服從 Skellam 分佈（Skellam, 1946）：
P(X − Y = k) = e^(−λ₁−λ₂) · (λ₁/λ₂)^(k/2) · I_|k|(2√(λ₁λ₂))
I 係修正 Bessel 函數。用佢計「淨勝 1 球」：矩陣對角線逐格加 = 23.10%，Skellam 封閉解 = 23.2%——兩條路徑吻合，交叉驗證通過。實務上我哋用矩陣（直觀、易加修正項），Skellam 用嚟做 sanity check。
和局分佈
主對角線拆開睇：1-1（12.45%）> 0-0（7.81%）> 2-2（4.97%）。和局合共 26.2%，當中 1-1 一個比分已佔和局近一半。
呢度要講句誠實話：Dixon-Coles 篇 證明咗獨立假設會低估 0-0 同 1-1——真實賽事中呢兩個比分出現得比獨立 Poisson 預測更頻密。所以我哋生產管道唔係直接用呢塊矩陣，而係經過 τ 函數低分修正之後先至輸出。本篇嘅數字係「修正前基線」，咁樣寫先唔會呃到你。
已知限制（照舊講明）
- 獨立性假設——領先方縮、落後方搏，入球唔係真獨立；Dixon-Coles 只修低分，唔修動態。
- λ 係估計——λ 差 0.1，頭六比分排名可以洗牌。λ 嘅不確定性永遠大過公式嘅精確性。
- 7+ 尾巴——矩陣截斷喺 6 球，遺留約 0.09% 喺瘋狂比分（5-4 之類），對所有常見市場冇實際影響，但存在。
結論
- 波膽 = 兩個 Poisson 嘅聯合分佈，最常見比分通常只得 10–13%
- 1X2、大細、淨勝球全部係同一矩陣嘅邊際加總，口徑一致係免費嘅
- Skellam 俾你淨勝球封閉解，適合做交叉驗證
- 低比分（0-0、1-1）要經 Dixon-Coles 修正先至係生產級數字
下一篇預告：λ 嘅不確定性點量化——點解我哋話「單場預測」本身係一個分佈而唔係一個點。
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